Cho hàm số \(f(x)=x^{2}+|x|\). Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x = 0 .
(2). Hàm số trên liên tục tại x = 0 .
Trong hai câu trên:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(+) \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)=0\\ +) \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}\left(x^{2}-x\right)=0\)
\(\begin{array}{l} \text { +) } f(0)=0 \\ \Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0) \end{array}\) nên hàm số liên tục tại x=0.
Lại có:
\(f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2}+x}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{0}}(x+1)=1\)
\( f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{0}} \frac{x^{2}-x}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1\)
\(\Rightarrow f^{\prime}\left(0^{+}\right) \neq f^{\prime}\left(0^{-}\right)\), vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0
