Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2 \cos 2 x}\) . Tính \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x(1)\\ &\text { Đặt } t=-x \Rightarrow d t=-d x \end{aligned}\)
Đổi cận:\(\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=\frac{\pi}{2} \\ x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=-\frac{\pi}{2} \end{array}\)
\(\Rightarrow I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} f(-t) \cdot(-d t)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-t) d t=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-x) d x(2)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow 2 I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)+f(-x)] d x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2+2 \cos 2 x} d x\)
\(\begin{array}{l} =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2(1+\cos 2 x)} d x=\sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2 \cos ^{2} x} d x=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\cos x| d x=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=\left.2 \sin x\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}=2[1-(-1)]=4 \\ \Rightarrow I=2 \end{array}\)
