Cho hàm số \(f(x) = \left| {{x^4} – 8{x^2} – m} \right|.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in {\rm{[}} – 50;50]\) sao cho với mọi số thực \(a, b, c \in {\rm{[}}0;3]\) thì \(f(a),{\rm{ }}f(b),{\rm{ }}f(c)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(g(x) = {x^4} – 8{x^2} – m\) thì \(f(x) = \left| {g(x)} \right|.\)
\( + {\rm{ }}{g^/}(x) = 4{x^3} – 16x,{\rm{ }}{g^/}(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = – 2\end{array} \right.\)
+ Bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên suy ra \( – m – 16 \le g(x) \le 9 – m\).
\(\forall a, b, c \in {\rm{[}}0;3]:{\rm{ }}f(a),f(b),f(c)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác \( \Leftrightarrow 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) > \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x)\) (1)
Trường hợp 1: \(– m – 16 > 0 \Leftrightarrow m < – 16 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = – m – 16,{\rm{ }}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 9 – m\)
\((1) \Leftrightarrow 2( – m – 16) > 9 – m \Leftrightarrow m < – 41{\rm{ (2)}}\)
Trường hợp 2: \(9 – m < 0 \Leftrightarrow m > 9 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = \left| {9 – m} \right| = m – 9,{\rm{ }}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = \left| {m + 16} \right|\)
\((1) \Leftrightarrow 2(m – 9) > \left| {m + 16} \right| \Leftrightarrow m > 34{\rm{ (3)}}\)
Vì m nguyên, \(m \in {\rm{[}} – 50;50{\rm{]}}\) nên từ (2) và (3) ta có 9 + 16 = 25 giá trị m nguyên thỏa đề.
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=x+\frac{1}{x}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\) có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên đoạn [ 1; 3] là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+3\) trên đoạn [-4;4] là:
-
Hàm số \(y=x^{8}+\left(x^{4}-1\right)^{2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1; 2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\). Khi đó tích\(x_{1} . x_{2}\) có giá trị bằng
-
Hàm số \(y=2 \sin ^{2} x+5 \cos ^{2} x-1\) có giá trị nhỏ nhất bằng
-
Hàm số \(y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 3] là:
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}}\) trên đoạn [0;3]
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {5{x^2} + 4} \) trên đoạn [-3;1].
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x-1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) là
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=(2 \sin x+1)^{2}+2 \text { trên đoạn }\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)
-
Cho tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp. Với giá trị nào của x thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}-4 \sqrt{(x+4)(4-x)}+5\) bằng
-
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng m là tham số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(f\left( {3x – m} \right) + 2f\left( {{x^2} – 2x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập S bằng:
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{6-x}-\sqrt{x+4}\) đạt tại \(x_0\),giá trị của \(x_0\) là:
-
Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là x(m), chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h(m) có thể tích là \(\frac{4}{3} m^{3}\) Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất.
-
Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) trên đoạn \(\left[ {3;\,5} \right]\). Khi đó M – m bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x+\sqrt{2} \sin x\) trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2} ; 0\right]\)
-
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày, \(0≤t≤24\)
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin ^{20} x+\cos ^{20} x\) . Khi đó M.m bằng
-
Một công ti quản lí chuẩn bị xây dựng một khu chung cư mới. Họ tính toán nếu tòa nhà có x căn hộ thì chi phí bảo trì của tòa nhà là: \(C\left( x \right) = 4000 - 14x + 0,04{x^2}.\). Khu đất của họ có thể xây được tòa nhà chứa tối đa 300 căn hộ. Hỏi họ nên xây dựng tòa nhà có bao nhiêu căn hộ để chi phí bảo trì của tòa nhà là nhỏ nhất?
