Xét hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right| \end{equation}\) , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính \(\begin{equation} T=a+2 b \text { . } \end{equation}\)

A. -1

B. -2

C. -3

D. -4

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Báo sai

\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Ta có: } \max \{|A|,|B|\} \geq \frac{|A+B|}{2} \text { (1). Dấu = xảy ra khi } A=B \text { . }\\ \text { Ta có: } \max \{|A|,|B|\} \geq \frac{|A-B|}{2}(2) \text { . Dấu = xảy ra khi } A=-B \text { . }\\ \text { Xét hàm số } g(x)=x^{2}+a x+b \text { , có } g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{a}{2} \text { . } \end{array} \end{equation}\)

+\(\begin{equation} \text { Trường hợp 1: }-\frac{a}{2} \notin[-1 ; 3] \Leftrightarrow a \notin[-6 ; 2] \text { . Khi đó } \mathrm{M}=\max \{|g(-1)|,|g(3)|\} =\max \{|1-a+b|,|9+3 a+b|\} \text { . } \end{equation}\)

\(\begin{equation} \text { Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có } \mathrm{M} \geq|4+2 a|>8 \text { . }\forall a\notin[-6;2] \end{equation}\)

+\(\begin{equation} \text { Trường hợp 2: }-\frac{a}{2} \in[-1 ; 3] \Leftrightarrow a \in[-6 ; 2] \text { . Khi đó } \mathrm{M}=\max \left\{|1-a+b|,|9+3 a+b|,\left|b-\frac{a^{2}}{4}\right|\right\} \text { . } \end{equation}\)

\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có } \mathrm{M} \geq \max \left\{|5+a+b|,\left|b-\frac{a^{2}}{4}\right|\right\} \Leftrightarrow \mathrm{M} \geq \frac{1}{8}\left|20+4 a+a^{2}\right|\\ \Leftrightarrow \mathrm{M} \geq \frac{1}{8}\left|16+(a+2)^{2}\right| \end{array} \end{equation}\)

\(\begin{equation} \text { Suy ra } \mathrm{M} \geq 2 \text { . } \end{equation}\)

Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 \(\left\{\begin{array} { l } { a = - 2 } \\ { 5 + a + b = \frac { - a ^ { 2 } } { 2 } - b } \\ { 1 - a + b = 9 + 3 a + b } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-2 \\ b=-1 \end{array} .\right.\right.\)

\(\text { Vậy } a+2 b=-4 \text { . }\)