Biết rằng phương trình \(\sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} – \sqrt {4 – {x^2}} = m\) có nghiệm khi m thuộc \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a, b \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(T = \left( {a + 2} \right)\sqrt 2 + b\) là?

A. T = 0

B. \(T = 3\sqrt 2 + 2\)

C. T = 6

D. T = 8

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

Báo sai

Điều kiện: \( – 2 \le x \le 2\).

Đặt \(t = \sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} \ge 0 \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {4 – {x^2}} \Rightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}\).

Phương trình đã cho thành \(t – \frac{{{t^2} – 4}}{2} = m\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} \), với \(x \in \left[ { – 2;2} \right]\) ta có

\(f’\left( x \right) = – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {2 + x} }}; \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – 2;2} \right)\\f’\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – 2;2} \right)\\2 – x = 2 + x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { – 2;2} \right]\) và \(f\left( { – 2} \right) = 2; f\left( 2 \right) = 2; f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow 2 \le f\left( x \right) \le 2\sqrt 2 \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t – \frac{{{t^2} – 4}}{2}\), với \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) ta có \(f’\left( t \right) = 1 – t < 0, \forall t \in \left( {2;2\sqrt 2 } \right)\).

Bảng biến thiên:

YCBT \( \Leftrightarrow \) trên \(\left[ { – 2;2} \right]\) đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) cắt đường thẳng \(y = m \Leftrightarrow 2\sqrt 2 – 2 \le m \le 2\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt 2 – 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = \left( {a + 2} \right)\sqrt 2 + b = 6\).