Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16\). Số phần tử của S là ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 6m{x^2} + {m^2}\) đã xác định và liên tục trên \(\left[ { – 2;1} \right]\).
Ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 12mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3m\end{array} \right.\).
Tính \(f\left( 0 \right) = {m^2}, f\left( 1 \right) = 1 – 6m + {m^2}, f\left( { – 2} \right) = 16 – 24m + {m^2}\).
Nhận xét: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16\) suy ra \(f\left( 0 \right) = {m^2} \in \left[ {0;16} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ { – 4;4} \right]\)
Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 16\\16 – 24m + {m^2} = 16\\1 – 6m + {m^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 4\\m = 0\\m = 24\\m = 3 \pm 2\sqrt 6 \end{array} \right.\).
Thử lại:
Với m = 0, ta có \(f\left( 0 \right) = 0, f\left( 1 \right) = 1, f\left( { – 2} \right) = 16 \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.
Với m = 4, ta có \(f\left( 0 \right) = 16, f\left( 1 \right) = – 7, f\left( { – 2} \right) = – 64 \Rightarrow m = 4\) thỏa mãn.
Với m = – 4, ta có \(f\left( { – 2} \right) = 128 > 16 \Rightarrow m = – 4\) không thỏa mãn.
Với \(m = 3 – 2\sqrt 6 \), ta có \(f\left( { – 2} \right) = 36\sqrt 6 – 23 > 16 \Rightarrow m = 3 – 2\sqrt 6 \) không thỏa mãn.
Như vậy ta được m = 0, m = 4 thỏa mãn bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{8} x+\cos ^{4} 2 x\). Khi đó M + m bằng
-
Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)=x+\frac{9}{x}\) trên đoạn \([1 ; 4]\) là:
-
Hàm số \(y=\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\) có giá trị lớn nhất bằng:
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{4x - 7}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x(x+2)(x+4)(x+6)+5\) trên nữa khoảng \([-4 ;+\infty)\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-3\right)\) trên đoạn [-2;2]
-
Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau \(y=\frac{2 \sin x-1}{\sin x+2}\)
-
Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu như hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x cm, chiều cao h cm và có thể tích 500 cm3. Giá trị của x để diện tích của mảnh các tông nhỏ nhất bằng
-
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng – 2.
-
Hàm số \(y=\sqrt{1+2 \sin x \cdot \cos x}\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) tại điểm có hoành độ là:
-
Hàm số \(y = \sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn \(\left[ {2;\,4} \right]\) là:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\) trên đoạn [1;3].
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2 x^{2}+1}\) bằng
-
Có một giá trị \({m_0}\) của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Một trang chữ của một quyển sách tham khảo Văn học cần diện tích 384 cm2. Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2cm, lề phải là 2 cm, lề trên 3 cm và lề dưới là 3 cm. Trang sách đạt diện tích nhỏ nhất thì có chiều dài và chiều rộng là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Đặt \(M = \max f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right),m = \min f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)\). Tổng M + m bằng
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng – 2.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+3 x-1}{x-2}\) trên đoạn [-2;0] là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m\). Tìm m để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\).
.jpg.png)
