Biết rằng \(\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) .Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^{2}} & \text { khi } x \neq \pi \\ m & \text { khi } x=\pi \end{array} \text { liên tục tại } x=\pi\right.\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{1 + \cos x}}{{{{(x - \pi )}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{{{(x - \pi )}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{(x - \pi )}^2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}} \right]^2}\)
Đặt \(t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}\) , \(t\rightarrow 0 \text { khi } x \rightarrow 1\)
Khi đó \(\lim _{x \rightarrow \pi} f(x)=\frac{1}{2} \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot 1^{2}=\frac{1}{2}\)
Yêu cầu bài toán tương đương với
\(\begin{array}{l} f(\pi ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f(x)\\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị của \(C=\lim \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n+1}\) bằng:
-
Cho dãy số \(\left(u_{n}\right) \text { với } u_{n}=\frac{n}{4^{n}} \text { và } \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<\frac{1}{2}\). Chọn giá trị đúng của \(\lim u_n\) trong các số sau:
-
Phương trình nào sau đây có nghiệm trên R?
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+5 x+6}\).Khi đó hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x,\,\,\,x > - 1\\
{x^3} - 4x - 1,\,\,\,x < - 1
\end{array} \right.\)Kết luận nào sau đây không đúng?
-
Tìm a để các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\,x + 2a\,\,{\rm{khi }}\,x < 0}\\ {{x^2} + x + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 0} \end{array}} \right.\) liên tục tại x = 0
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x-2}{x-2} & \text { khi } x \neq 2 \\ m & \text { khi } x=2 \end{array} \text { liên tục tại } x=2\right.\).
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\tan x}{x}, & x \neq 0 \wedge x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \\ 0 & , x=0 \end{array}\right.\). Hàm số y=f(x) liên tục trên các khoảng
nào sau đây? -
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} \sin \frac{1}{x} & \text { khi } x \neq 0 \\ m & \text { khi } x=0 \end{array} \text { liên tục tại } x=0\right.\).
-
Biết rằng\(\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\) . Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin \pi x}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ m & \text { khi } x=1 \end{array}\right.\) liên tục tại x = 1 ?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} + 2x{\rm{ \ khi \ }}x > 2\\ {x^2} - x + 3{\rm{ \ khi \ }}x \le 2 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Chọn giá trị f(0) để các hàm số \(f\left( x \right)\; = \frac{{\sqrt[3]{{2x + 8}} - 2}}{{\sqrt {3x + 4} - 2}}\) liên tục tại điểm x = 0
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{3}-x^{2}+2 x-2}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ 3 x+m & \text { khi } x=1 \end{array}\right.\) liên tục tại x = 1.
-
Tìm a để các hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+2 a \text { khi } x<0 \\ x^{2}+x+1 \text { khi } x \geq 0 \end{array}\right.\) liên tục tại x=0.
-
Chọn giá trị f(0) để hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{2 x+8}-2}{\sqrt{3 x+4}-2}\) liên tục tại điểm x=0.
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} & \text { khi } x \neq 4 \\ \frac{1}{4} & \text { khi } x=4 \end{array}\right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)^{2} & , x>1 \\ x^{2}+3 & , x<1 \\ k^{2} & , x=1 \end{array}\right.\). Tìm k để \(f(x)\) gián đoạn tại x=1
-
Hàm số f(x) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
-
Giá trị của \(A=\lim \frac{n-2 \sqrt{n}}{2 n}\) bằng
-
Giá trị của \(\lim \frac{\sqrt{n+1}}{n+2}\) bằng:
