\(\text { Tính tổng } S=\sqrt{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\cdots\right)\)

\(\text { Cho dãy }\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right) \text { xác định như sau: }\left\{\begin{array}{l} \mathrm{u}_{1}=1 ; \\ \mathrm{u}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{u}_{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}^{2}}{2010} \end{array} \text { . Tìm } \lim \left(\sum \frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}+1}}\right)\right. \text { . }\)

Giá trị của \(\lim \frac{1}{\mathrm{n}^{\mathrm{k}}} \quad\left(\mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}\right)\) là:

\(\text { Cho dãy }\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}\right) \text { được xác định như sau: } \mathrm{x}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{\mathrm{k}}{(\mathrm{k}+1) !}\). \(\text { Tìm } \lim u_{n} \text { với } u_{n}=\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots+x_{2011}^{n}} \text { . }\)

\(\text { Có bao nhiêu số nguyên } a \in(0 ; 100) \text { để } \lim \left(a^{n}+\sin n\right)=+\infty \text { ? }\)

Tính giới hạn \(F=\lim \frac{(n-2)^{7}(2 n+1)^{3}}{\left(n^{2}+2\right)^{5}}\).

Biết \(\lim \left(\frac{(\sqrt{5})^{n}-2^{n+1}+1}{5.2^{n}+(\sqrt{5})^{n+1}-3}+\frac{2 n^{2}+3}{n^{2}-1}\right)=\frac{a \sqrt{5}}{b}+c \text { với } a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của \(S=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Số thập phân vô hạn tuần boàn 0,11272727… được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \(a\over b\), trong đó a và b là các số nguyên dương. Tính 5a-b .

Tính \(\lim \;\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng

Cho dãy số \(u_{n} \text { với } u_{n}=(n-1) \sqrt{\frac{2 n+2}{n^{4}+n^{2}-1}}\). Chọn kết quả đúng của \(\lim u_n\) là 

\(\text { Kết quả của giới hạn } \lim \frac{\sqrt{9 n^{2}-n+1}}{4 n-2} \text { bằng: }\)

Giới hạn \(\lim \frac{13.3^{n}-5 n}{3.2^{n}+5.4^{n}}\) là?

Tính giới hạn của dãy số \(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}\)

Cho dãy số \(\left(u_{n}\right) . \text { Biết } \sum_{k=1}^{n} u_{k}=\frac{3 n^{2}+9 n}{2} \text { với mọi } n \geq 1 . \text { Tìm } \frac{1}{n u_{n}} \sum_{k=1}^{n} u_{k} .\)

Tính giới hạn \(\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)\right]\)

Tính giới hạn \(D=\lim \frac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt[3]{3 n^{3}+2}}{\sqrt[4]{2 n^{4}+n+2}-n}\)

Tìm giới hạn \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{q}+2 \mathrm{q}^{2}+\ldots+\mathrm{nq}^{\mathrm{n}} \text { với }|\mathrm{q}|<1\).

\(\text { Kết quả của giới hạn } \lim (n+1) \sqrt{\frac{2 n+2}{n^{4}+n^{2}-1}} \text { là: }\)

Giá trị của \(F = \lim \frac{{{{\left( {n - 2} \right)}^7}{{\left( {2n + 1} \right)}^3}}}{{{{\left( {{n^2} + 2} \right)}^5}}}\) bằng:

Cho dãy số \(\left(x_{k}\right)\) thỏa mãn \(x_{k}=\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{k}{(k+1) !}\).Tìm \(\lim u_{n} \text { với } u_{n}=\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots+x_{2011}^{n}}\)

Giá trị của  \(C=\lim \sqrt{\frac{3.3^{n}+4^{n}}{3^{n+1}+4^{n+1}}}\) bằng: