Rút gọn \(\begin{array}{l} S=1-\sin ^{2} x+\sin ^{4} x-\sin ^{6} x+\cdots+(-1)^{n} \cdot \sin ^{2 n} x+\cdots \quad \text { với } \sin x \neq \pm 1 \end{array}\)

\(\text { Giá trị của giới hạn } \lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}-\sqrt{2 n^{2}+n}\right) \text { là: }\)

Tìm giới hạn \(C=\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)\right]\).

Tìm giới hạn \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{q}+2 \mathrm{q}^{2}+\ldots+\mathrm{nq}^{\mathrm{n}} \text { với }|\mathrm{q}|<1\).

Giới hạn \(F=\lim (\sqrt{n^2+1}+n)\) là:

. Cho dãy số (x_n) xác định bởi  \(\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{2}+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \forall \mathrm{n} \geq 1\). \(\text { Đặt } S_{n}=\frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{x_{n}+1} . \text { Tính } \operatorname{limS}_{n} \text { . }\)

Giới hạn của \(\lim \left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+1}+\frac{3}{n^{2}+1}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}+1}\right)\) là?

Giá trị của \(\lim \left(\frac{n+1}{n}+\frac{\cos n}{3^{n}}\right)\) là?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \(\lim \sqrt{3+\frac{a n^{2}-1}{3+n^{2}}-\frac{1}{2^{n}}}\) là một số nguyên?

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}\;,\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < \frac{1}{2}\). Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:

Tính giới hạn: \(\left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)

\(\text { Giá trị của giới hạn } \lim \frac{n+2 n^{2}}{n^{3}+3 n-1} \text { bằng: }\)

Tính giới hạn \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}^{2}+\mathrm{k}}}\)

\(\text { Cho dãy số }\left(u_{n}\right) \text { với } u_{n}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \text {. Tính } \lim u_{n} \text {. }\)

Tính giới hạn của dãy số \(u_{n}=\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \ldots \cdot \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}.\)

\(\text { Giá trị của giới hạn } \lim \left(\sqrt[3]{n^{3}-2 n^{2}}-n\right) \text { bằng: }\)

\(\text { Tính } L=\lim \limits_{x \rightarrow 7}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right) \text {. }\)

Tính giới hạn \(B=\lim \frac{\sqrt{1+2+\ldots+n}-n}{\sqrt[3]{1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}}+2 n}\)

\(\text { Giá trị của giới hạn } \lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}-2 n}\right) \text { là: }\)

Tính giới hạn: \(\lim \;\frac{{\sqrt {n + 1}  - 4}}{{\sqrt {n + 1}  + n}}\)

Giới hạn của dãy số \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=(-1)^{\mathrm{n}}\) là: