\(\lim \frac{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}{{1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}}}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân () với = 3 và q= 3 .
Do đó \(3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n} = 3.\frac{{{3^n} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}.\left( {{3^n} - 1} \right)\)
Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân () với =1 và q = 2.
Do đó :
\(1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n} = 2.\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{2 - 1}} = 2.\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)\)
Vậy \(\lim \frac{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}{{1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}}} = \lim \frac{3}{4}.\frac{{{3^n} - 1}}{{{2^{n + 1}} - 1}} = \frac{3}{4}\lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = + \infty \)
