\(\text { Dùng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số } y=f(x)=\sqrt{x^{2}+5}-1 \text { tại điểm } x_{0}=2 \text {. }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &TXĐ: D=\mathbb{R}\\ &\text { Ta có } \Delta y=\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}-1-\sqrt{x_{0}^{2}+5}+1=\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}-\sqrt{x_{0}^{2}+5} \\ &\text { Khi đó } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}-\sqrt{x_{0}^{2}+5}}{\Delta x} \\ &=\frac{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x\left(\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}+\sqrt{\left.x_{0}^{2}+5\right)}\right.} \\ &=\frac{2 x_{0} \Delta x+\Delta^{2} x}{\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}+\sqrt{x_{0}^{2}+5}} \\ &=\frac{2 x_{0}+\Delta x}{\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}+\sqrt{x_{0}^{2}+5}} \\ &\text { Nên } \lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 x_{0}+\Delta x}{\sqrt{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}+5}+\sqrt{x_{0}^{2}+5}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \end{aligned} \)
\(\text { Vậy } f^{\prime}(2)=\frac{2}{3} \text {. }\)
