Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm \(x =x_0\) thì f (x) liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm \(x =x_0\) thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu f (x) gián đoạn tại \(x =x_0\) thì chắc chắn f (x) không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMênh đề (1) đúng.
mệnh đề (2) sai vì lấy ví dụ hàm số \(f(x)=|x| \text { ta có } D=\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Nhưng
\(\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|-0}{x-0}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-0}{x-0}=1 \\ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|-0}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-x-0}{x-0}=-1 \end{array}\right.\)
nên hàm số không có đạo hàm tại x=0
Mệnh đề (3) đúng suy ra từ mệnh đề (1):
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f (x) không liên tục tại \(x=x_0\)x thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó.
