\(\text { Cho tam giác } A B C \text { có: } 5(\sin A+3 \cos B)+9(\sin B+3 \cos A)=20\). Tam giác ABC là tam giác gì?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} & 4(\sin A+3 \cos B)+3(\cos A+3 \sin B) \\ =&(3 \cos A+4 \sin A)+(9 \sin B+12 \cos B) \\ \leq & \sqrt{\left(4^{2}+3^{2}\right)\left(\sin ^{2} A+\cos ^{2} A\right)}+\sqrt{\left(9^{2}+12^{2}\right)\left(\sin ^{2} B+\cos ^{2} B\right)} \\ =& 5+15=20 \end{aligned}\)
\(\text { Dấu bằng xảy ra } \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3}{4} \\ \frac{\cos B}{\sin B}=\frac{9}{12} \end{array} \Leftrightarrow \tan A=\cot B=\frac{3}{4}\right.\)
\(\Rightarrow \tan A=\tan \left(\frac{\pi}{2}-B\right) \Leftrightarrow A=\frac{\pi}{2}-B \Leftrightarrow A+B=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow C=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \triangle A B C \text { vuông tại } C .\)