Xác định a,b đểhàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{r} \sin x \text { khi }|x| \leq \frac{\pi}{2} \\ a x+b \text { khi }|x|>\frac{\pi}{2} \end{array}\right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(|x| < \frac{\pi}{2}\) hàm số \(f(x)=\sin x\) liên tục.
Với \(|x| > \frac{\pi}{2}\) hàm số \(f(x)=ax+b\) liên tục.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \,\sin x = 1 = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \left( {ax + b} \right) = a\frac{\pi }{2} + b\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \,\sin x = - 1 = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \left( {ax + b} \right) = a\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + b \end{array}\)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại \(\frac{\pi}{2}\,và \,-\frac{\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{\pi }{2}a + b = 1}\\ { - \frac{\pi }{2}a + b = - 1} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \frac{2}{\pi }}\\ {b = 0} \end{array}} \right.} \right.\)
\(x=\pm \frac{\pi}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-2 x} & \text { nếu } & x<2 \\ m x+m+1 & \text { nếu } & x \geq 2 \end{array}\right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
-
Biết rằng \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ a & \text { khi } x=1 \end{array}\right.\) liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?
-
Tìm a để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+2 a \text { khi } x<0 \\ x^{2}+x+1 \text { khi } x \geq 0 \end{array}\right.\) liên tục tại x=0.
-
Cho phương trình xsinx+x2−3=0. Nhận xét nào sau đây không đúng?
-
Chọn giá trị f(0) để hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{2 x+1}-1}{x(x+1)}\) liên tục tại điểm x=0.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2},\,\,x > 1\\
{x^2} + 3,\,\,x < 1\\
{k^2},\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\). Tìm k để f(x) gián đoạn tại x = 1. -
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3 x+2 \text { khi } x<-1 \\ x^{2}-1 \text { khi } x \geq-1 \end{array}\right.\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
-
Tìm a để hàm số \(\begin{aligned} &f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{4}-5 x^{2}+4}{x^{3}-8} & \text { khi } x<2 \\ a x^{2}+x+1 & \text { khi } x \geq 2 \end{array}\right. \end{aligned}\) liên tục tại x=2.
-
Chọn giá trị f(0) để hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{2 x+8}-2}{\sqrt{3 x+4}-2}\) liên tục tại điểm x=0.
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x-2}{x-2} & \text { khi } x \neq 2 \\ m & \text { khi } x=2 \end{array} \text { liên tục tại } x=2\right.\).
-
Biết rằng hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x} & \text { khi } x \in[0 ; 4] \\ 1+m & \text { khi } x \in(4 ; 6] \end{array}\right.\) liên tục trên [0;6]. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:
-
Tìm các giá trị của a và b để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x-b & \text { nếu } \quad x \leq 1 \\ 3 x & \text { nếu } 1<x<2 \\ b x^{2}-a & \text { nếu } \quad x \geq 2 \end{array}\right.\) liên tục tại x=1 và gián đoạn tại x=2.
-
Giá trị của \(A=\lim \frac{2 n+1}{n-2}\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}}{x} & \text { khi } x<1, x \neq 0 \\ 0 & \text { khi } x=0 \\ \sqrt{x} & \text { khi } x \geq 1 \end{array}\right.\). Hàm số f(x) liên tục tại:
-
Xác định a, b để các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\sin x\,\,{\rm{khi }}\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}}\\ {ax + b\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}} \end{array}} \right.\) liên tục trên R.
-
Hàm số f(x) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
-
\(\text { Hàm số } f(x)=\frac{x^{3}+x \cos x+\sin x}{2 \sin x+3} \text { liên tục trên: }\)
-
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} m^{2} x^{2} & \text { khi } x \leq 2 \\ (1-m) x & \text { khi } x>2 \end{array}\right.\) liên tục trên R ?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-1}{x-1} & \text { khi } x<3, x \neq 1 \\ 4 & \text { khi } x=1 \\ \sqrt{x+1} & \text { khi } x \geq 3 \end{array}\right.\). Hàm số f(x) liên tục tại:
