Xác định a,b đểhàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{r} \sin x \text { khi }|x| \leq \frac{\pi}{2} \\ a x+b \text { khi }|x|>\frac{\pi}{2} \end{array}\right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(|x| < \frac{\pi}{2}\) hàm số \(f(x)=\sin x\) liên tục.
Với \(|x| > \frac{\pi}{2}\) hàm số \(f(x)=ax+b\) liên tục.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \,\sin x = 1 = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \left( {ax + b} \right) = a\frac{\pi }{2} + b\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \,\sin x = - 1 = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \left( {ax + b} \right) = a\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + b \end{array}\)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại \(\frac{\pi}{2}\,và \,-\frac{\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{\pi }{2}a + b = 1}\\ { - \frac{\pi }{2}a + b = - 1} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \frac{2}{\pi }}\\ {b = 0} \end{array}} \right.} \right.\)
\(x=\pm \frac{\pi}{2}\)
