Xét số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
Vậy \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \left( {\frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}} \right).\overline z \)
\( \Rightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^4}}}} \right).{\left| z \right|^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}.\) Đặt \(\left| z \right| = a > 0.\)
\( \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {2a - 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
{a^2} = - 2
\end{array} \right. \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|,w = iz + 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) là
-
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(4;0), B(1;4) và C(1;-1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho \(\left( { - 1 + 4i} \right)x + {\left( {1 + 2i} \right)^3}y = 2 + 9i\). Khi đó \(x\) bằng
-
Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right|\) là
-
Cho số phức z thoả: \(z(1 + 2i) = 4 - 3i\). Tìm số phức liên hợp \(\bar z\) của z
-
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in R} \right)\) thỏa mãn \(\left( {2 - i} \right)\overline z - 3z = - 1 + 3i\). Tính giá trị biểu thức \(P=a-b\).
-
Cho hai số phức \(z_1, z_2\) thỏa mãn \({z_1},{z_2} \ne 0; {z_1} + {z_2} \ne 0\) và \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}}\). Tính \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|\)
-
Cho số phức \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Số phức \(1 + z + {z^2}\) bằng
-
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z = 3 + 2i.\) Tính \(P = a + b.\)
-
Với các số phức z thỏa mãn \(|z - 2 + i| = 4\), tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm bán kính R đường tròn đó
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1\).
-
Cho số phức z thỏa mãn \(2z = i\left( {\overline z + 3} \right)\). Môđun của z là
-
Cho z là số phức thỏa mãn \(z + \frac{1}{z} = 1.\) Tính giá trị của \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}}.\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(3iz + 3 + 4i = 4z\). Tính môđun của số phức \(3z+4\)
-
Gọi \(z_1, z_2\) là 2 nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\). Tính giá trị \(P = {z_1}^{2017} + {z_2}^{2017}\)
-
Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức \(z=a+bi \left( {a,b \in R,\,\,ab \ne 0} \right)\), M' là điểm biểu diễn cho số phức \(\bar z\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và điểm A trong hình vẽ bên
.png)
là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức \(w = \frac{1}{{iz}}\) là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
-
Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình: \({z^2} - z + 2 = 0\). Phần thực của số phức \({\left[ {\left( {i - {z_1}} \right)\left( {i - {z_2}} \right)} \right]^{2017}}\) là
-
Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Tìm môđun của số phức \(w = \left( {1 + i} \right)z - \overline z \).
-
Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức \(3-2i\), điểm B biểu diễn số phức \(-1+6i\). Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào sau đây?
