Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) là một khối đa diện có thể tích bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó \(0 \le \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(0 \le \left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) nên tìm các điểm đầu mút.
\(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 0 \Rightarrow x = y = z = 0 \Rightarrow O\left( {0;0;0} \right)\).
\(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 0 \Rightarrow x = 2;y = z = 0 \Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)\).
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2\\\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| x \right| = \left| {x - 2} \right| \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1\)
\( \Rightarrow \left| y \right| + \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0;\,\,z = \pm 1\\y = \pm 1;\,\,z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;0;1} \right),B'\left( {1;0; - 1} \right),C\left( {1;1;0} \right),C'\left( {1; - 1;0} \right)\)
Dựng hình suy ra tập hợp các điểm thảo mãn là bát diện \(B.OCAC'.B'\)
Ta có \(OB = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \), do đó hình bát diện đều \(B.OCAC'.B'\) có cạnh bằng \(\sqrt 2 \).
Vậy thể tích của bát diện đều là \(V = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{4}{3}\).
Chọn D.