Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
\(\forall x\in \left( 0;\pi \right)\), ta có: \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)\sin x-f\left( x \right)\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x} \\ & \Leftrightarrow {{\left( \frac{f\left( x \right)}{\sin x} \right)}^{'}}=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x} \\ & \Rightarrow \frac{f\left( x \right)}{\sin x}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C \\ & \Rightarrow f\left( x \right)=-x.\cos x+\sin x.\ln \left| \sin x \right|+C.\sin x \\ \end{align}\)
Ta lại có: \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\Leftrightarrow C=1\)
\(\begin{align} & \Rightarrow f\left( \frac{\pi }{6} \right)\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}.\ln \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right) \\ & \Rightarrow a=6,\,\,b=-6,\,\,c=-1. \\ \end{align}\)
Vậy \(a+b+c=-1\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh