Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha  \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng \(6\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?

Có bao nhiêu số phức \(z\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?

Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?

Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng

Cho các số phức \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng:

Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục \(\left( 0;\,+\infty  \right)\) và diện tích hình phẳng được kẻ sọc hình bên bằng \(3\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\) bằng

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là

Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất.

Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=\frac{4}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)}dx\) bằng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng

Cho các số thực dương \(a\,,\,b\)thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab\). Giá trị \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)bằng

Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\)để hàm số \(f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(5a-2b\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân, \(AB=BC=2a\). Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc \(\left( ABC \right)\), \(SA=a\sqrt{3}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng