Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x=0\) và \(x=2\) nên có dạng \({f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\).
Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ c = 0\\ 3 \cdot a \cdot {2^2} + 2 \cdot b \cdot 2 = 0\\ - {a^3} + b + d = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 3\\ c = 0\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Suy ra \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C\).
Mà \(f\left( 0 \right)=0\)\( \Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x\).
Ta có \({f}'\left( x \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=1-\sqrt{3} \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)
Suy ra bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của \(f\left( x-1 \right)\)
Vì \(-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi\right]\) nên \(0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3\).
Đặt \(t=\left| 2\sin x-1 \right|\), \(t\in \left[ 0;3 \right]\)
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(f\left( t-1 \right)=m\) có tối đa \(2\) nghiệm \(t=h\), \(t=k\).
Do đó
\(\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = \pm h\\ 2\sin x - 1 = \pm k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{ \pm h + 1}}{2}\\ \sin x = \frac{{ \pm k + 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Trên \(\left[ 0;3\pi\right]\), mỗi phương trình có nhiều nhất \(4\) nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(16\) nghiệm.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh