Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), khoảng cách giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Tam giác \(BCD\) cân tại \(C\,\left( CB=CD=a \right)\) có \(\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & DM\bot BC \\ & SM\bot BC \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\)\( \Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right)\) mà \(\left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM\).
Trong \(\left( SDM \right)\), kẻ \(SH\bot DM\)\( \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).
Vì \(CD\bot SC\,\left( gt \right),CD\bot SH\,\left( do\,SH\bot \left( ABCD \right),\,CD\subset \left( ABCD \right) \right)\)\( \Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\)\( \Rightarrow CD\bot HC\).
Suy ra \(H\) thuộc đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(CD\).
Vì \(AB//CD\)\( \Rightarrow \left( SAB \right)//CD\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)\)\( =d\left( C,\left( SAB \right) \right)\)\( =\frac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)\)
(với \(E=HC\cap AB\)).
Vì \(BE//CD,\,BN//CE\) (do cùng vuông góc \(CD\)) nên \(BECN\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow CE=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,HE=GN=\frac{a\sqrt{3}}{2\times 3}\)\( =\frac{a\sqrt{3}}{6}\).
(với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)).
\(\Rightarrow \frac{CE}{HE}=\frac{BN}{GN}=3\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{5}\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{15}\). \(\left( 1 \right)\)
Kẻ \(HK\bot SE\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow HK=\frac{4a}{15}\).
\(\Delta SHE\) vuông tại \(H,\,HK\bot SE\)\( \Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{E}^{2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{225}{16{{a}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH\)\( =\frac{4a}{\sqrt{33}}\).
Thể tích của khối chóp đã cho là \(V=\frac{1}{3}Bh\)\( =\frac{1}{3}\times \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \frac{4a}{\sqrt{33}}\)\( =\frac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình vẽ
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Tập nghiệm của phương trình \(f\left( \left| 2\sin x-1 \right|-1 \right)=m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ 0;3\pi\right]\) có tất cả bao nhiêu phần tử?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\)bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)bằng
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng
-
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=\frac{4}{3}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)}dx\) bằng
-
Có \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:
-
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng
-
Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng
-
Có bao nhiêu số phức \(z\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| z+i \right|=2\) và \({{\left( z-2 \right)}^{4}}\) là số thực?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K=5a+2b.
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là
