Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), khoảng cách giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. \(\frac{2{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}\).

B. \(\frac{4{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}\).

C. \(\frac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).

D. \(\frac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Tam giác \(BCD\) cân tại \(C\,\left( CB=CD=a \right)\) có \(\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{align} & DM\bot BC \\ & SM\bot BC \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\)\( \Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right)\) mà \(\left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM\).

Trong \(\left( SDM \right)\), kẻ \(SH\bot DM\)\( \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).

Vì \(CD\bot SC\,\left( gt \right),CD\bot SH\,\left( do\,SH\bot \left( ABCD \right),\,CD\subset \left( ABCD \right) \right)\)\( \Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\)\( \Rightarrow CD\bot HC\).

Suy ra \(H\) thuộc đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(CD\).

Vì \(AB//CD\)\( \Rightarrow \left( SAB \right)//CD\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)\)\( =d\left( C,\left( SAB \right) \right)\)\( =\frac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)\)

(với \(E=HC\cap AB\)).

Vì \(BE//CD,\,BN//CE\) (do cùng vuông góc \(CD\)) nên \(BECN\) là hình bình hành.

\(\Rightarrow CE=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,HE=GN=\frac{a\sqrt{3}}{2\times 3}\)\( =\frac{a\sqrt{3}}{6}\).

(với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)).

\(\Rightarrow \frac{CE}{HE}=\frac{BN}{GN}=3\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{5}\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{15}\). \(\left( 1 \right)\)

Kẻ \(HK\bot SE\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK\). \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow HK=\frac{4a}{15}\).

\(\Delta SHE\) vuông tại \(H,\,HK\bot SE\)\( \Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{E}^{2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{225}{16{{a}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH\)\( =\frac{4a}{\sqrt{33}}\).

Thể tích của khối chóp đã cho là \(V=\frac{1}{3}Bh\)\( =\frac{1}{3}\times \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \frac{4a}{\sqrt{33}}\)\( =\frac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài