Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax+by+cz+7=0\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x-y+z+1=0\) và tạo với mặt phẳng \(\left( R \right):x-y+2z-1=0\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\). Tổng \(a+b+c\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\) nên ta có: \(2a+c=-7\Leftrightarrow c=-2a-7\,\,\,\left( 1 \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên ta có:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7\,\,\,\left( 2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( R \right)\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\) nên ta có:
\(\cos {{60}^{\text{o}}}=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\)\( \Leftrightarrow \frac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\,\,\left( 3 \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có:
\(\begin{align} & 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}\)
\(\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2 \\ & a=-7 \\ \end{align} \right.\)
Với \(a=2\Rightarrow b=-5,\,c=-11\Rightarrow a+b+c=-14\).
Với \(a=-7\Rightarrow b=-14,\,c=7\Rightarrow a+b+c=-14\).
Vậy \(a+b+c=-14\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình vẽ
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}-1}{{{2}^{x}}+1}\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất.
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\) là
-
Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( 1;1 \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Khi diện tích tam giác \(MAB\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(M\left( 0;3 \right)\) thì độ dài đoạn \(AB\) bằng
-
Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(5a-2b\) bằng
-
Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \({B}'{D}'\) bằng
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị
-
Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K=5a+2b.
