Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân, \(AB=BC=2a\). Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc \(\left( ABC \right)\), \(SA=a\sqrt{3}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\Rightarrow SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).
Dễ thấy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\Rightarrow HI\bot AB\) suy ra \(AB\bot \left( SHI \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( SHI \right)\).
Vẽ \(HK\bot SI\) tại \(K\) trong \(\left( SHI \right)\).
Khi đó
\(\left\{ \begin{align} & \left( SHI \right)\bot \left( SAB \right) \\ & \left( SHI \right)\cap \left( SAB \right)=SI \\ & \text{Trong }\left( SHI \right),HK\bot SI \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)\).
Dễ thấy \(HB\bot \left( SAC \right)\) nên \(\widehat{\left[ \left( SAC \right);\left( SAB \right) \right]}=\widehat{\left( HK;HB \right)}=\widehat{BHK}\).
Ta có \(AC=BC\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}\) ; \(HI=\frac{1}{2}BC=a\).
\(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\)\( \Rightarrow HK=\frac{SH.HI}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}}\)\( =\frac{a.a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Khi đó \(\cos \widehat{BHK}=\frac{HK}{BH}=\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat{BHK}=60{}^\circ \).
Vậy \(\widehat{\left[ \left( SAC \right);\left( SAB \right) \right]}=60{}^\circ \).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh