Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\) và \(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\) với mọi \(x\in \left[ 1;\ e \right].\) Khi đó, \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Với \(x\in \left[ 1;e \right]\) :
\(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)-2x.{{f}^{2}}\left( x \right)=2{{x}^{3}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}.{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{\prime }}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{2}{x}\)\( \Leftrightarrow {{\left( \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{x}\text{ }\)
\(\Leftrightarrow \int{{{\left( \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}dx}=\int{\frac{2}{x}dx}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=2\ln \left| x \right|+C\).
Thay \(x=1\) và chú ý \(f\left( 1 \right)=1\) ta được \(\frac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{{{1}^{2}}}=2\ln \left| 1 \right|+C\)\( \Leftrightarrow C=1.\)
Do đó, trên \(\left[ 1;\ e \right]\): \(\frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=2\ln \left| x \right|+1\)\( \Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( 2\ln x+1 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right)=x\sqrt{2\ln x+1}.\)
Và \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\)\( =\int\limits_{1}^{e}{\frac{\sqrt{2\ln x+1}}{x}}dx\)\( =\int\limits_{1}^{e}{\sqrt{2\ln x+1}d\left( \ln x \right)}\)\( =\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2t+1}dt}\)
Đặt \(u=\sqrt{2t+1}\Rightarrow {{u}^{2}}=2t+1\)\( \Rightarrow 2udu=2dt\) nên \(I=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{{{u}^{2}}du=\frac{3\sqrt{3}-1}{3}.}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Thế Vinh
Câu hỏi liên quan
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin 3x\) là
-
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\)bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)bằng
-
Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K=5a+2b.
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z+1=0\) và \(\left( \beta \right):x+2y+3z+4=0.\) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ là
-
Một chiếc xe đua \({{F}_{1}}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\) là
-
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{3}a\), \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) có cạnh \(AC=a\), góc giữa \(AD\) và \((SAB)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( 6;-10;3 \right)\) lớn nhất.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Có \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:
-
Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( 0;\pi \right)\) và \(f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\,\,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right).\) Biết \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1,\,\,f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a+b+c\) bằng
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( 1;1 \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Khi diện tích tam giác \(MAB\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(M\left( 0;3 \right)\) thì độ dài đoạn \(AB\) bằng
