Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2-x}}\)

Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(\sqrt{2}\). Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{\circ }}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}\) và hai điểm \(A\left( 2;0;3 \right),B\left( 4;2;1 \right)\) Điểm \(M\) trên \(d\) sao cho độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) nhỏ nhất. Tọa độ của điểm \(M\) là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA=2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng

Tập nghiệm của phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-3x}}=1\) là

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{27}^{x+1}} \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( x+8 \right)-2 \right]\le 0\) là

Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.\) Giá trị của \({{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}\) bằng

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x+2}-1}{{{x}^{2}}-4}\) là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Đặt \(g\left( x \right)=f\left[ \frac{1}{2}{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}-f\left( x \right) \right]\). Phương trình \({g}'\left( x \right)=0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là

Gọi \(\left( D \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0,y=x\) và \(y=\sqrt{x+2}\). Diện tích \(S\) của \(\left( D \right)\) được tính theo công thức nào dưới đây?

Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\) và chiều cao bằng \(3\). Thể tích khối trụ bằng

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình \(f\left( 1-x \right)=1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\,+\infty  \right)\)?

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)?

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là

Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)\) và \(C\left( 2;0;2 \right)\) có phương trình là

Gọi \(S\) là tập hợp gồm 18 điểm được đánh dấu trong bàn cờ ô ăn quan như nhìn bên. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm thuộc \(S\), xác suất để đường thẳng đi qua hai điểm được chọn không chức cạnh của bất kì hình vuông nào trong ô bàn cờ là

Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 2;2;3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-2x \right)}\,dx=\frac{1}{3}.\) Tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\,dx\) bằng

Cho các số phức \(z=\,-1+2i,\,w=\,3-i\). Phần ảo của số phức \({{s}_{z}}=\,z.\overline{w}\) bằng