Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2$. Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh bằng $\sqrt{6}$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $BD$ và $CC'$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình $f\left( 1-x \right)=1$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\,+\infty  \right)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và hai điểm $A\left( 2;0;3 \right),B\left( 4;2;1 \right)$ Điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của điểm $M$ là

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}-1}{{{x}^{2}}-4}$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2\ ;\ 1\ ;\ 3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0$, với $m$ là tham số. Gọi $H\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\left( P \right)$. Khi khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất; tính $a+b$.

Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+d$ và $g\left( x \right)=kx+d$ (với $a,b,c,d,k\in \mathbb{R}$). Đặt $h\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right)$. Biết rằng đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới và $h\left( 2 \right)=-2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Giả sử $z,w$ là hai số phức thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=\frac{5}{2},\,\,\,\left| z-w \right|=4$. Trên mặt phẳng $Oxy$ gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z+w$ và $3z+w$. Diện tích tam giác $OMN$ bằng bao nhiêu.

Diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng $\sqrt{2}$ là

Cho số phức $z=\,2-3i$. Điểm biểu diễn của số phức $\overline{z}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-2x \right)}\,dx=\frac{1}{3}.$ Tích phân $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\,dx$ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)$ và $C\left( 2;0;2 \right)$ có phương trình là

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+9x \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right),$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị?

Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Giá trị cực đại của hàm số đã cho

Giả sử $a,b$ là các số thực dương. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=a\sqrt{x}$, $y=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$; ${{V}_{2}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=b{{x}^{2}},y=0,x=1$ quanh trục $Ox$. Biết ${{V}_{2}}=10{{V}_{1}}$, giá trị $\frac{a}{b}$ bằng

Giả sử $a$, $b$ là các số thực dương tùy ý, ${{\log }_{4}}\left( {{a}^{6}}{{b}^{2}} \right)$ bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]$ thỏa mãn phương trình ${{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)$?

Phương trình $\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Xét các số thực $a$ thay đổi thỏa mãn $\left| a \right|\le 2$ và ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-az+1=0$. Gọi $A\left( \frac{7}{2};2 \right)$ và $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $AMN$ bằng

Cho hàm số $y=\,f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho các số thực dương $a,\,\,b$ thỏa mãn ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.$ Giá trị của ${{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}$ bằng