Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 2\ ;\ 1\ ;\ 3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\), với \(m\) là tham số. Gọi \(H\left( a;b;c \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right)\). Khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất; tính \(a+b\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Ta có \(d\left( A,\left( P \right) \right)\)\( =\frac{\left| 2+m+6m+3-m-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}\)\( =\sqrt{\frac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}}\)
Xét \(f\left( m \right)\)\( =\frac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}\)\( \Rightarrow {f}'\left( m \right)\)\( =\frac{\left( 6m+3 \right)\left( -6m+12 \right)}{{{\left( 5{{m}^{2}}+4m+2 \right)}^{2}}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{-1}{2} \\ & m=2 \\ \end{align} \right.\)
.PNG)
Vậy \(\max \ d\left( A,\left( P \right) \right)=\frac{\sqrt{30}}{2}\) khi và chỉ khi \(m=2\).
Vậy \(\left( P \right):x+2y+5z-4=0\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(d:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1+2t \\ & z=3+5t \\ \end{align} \right.\)
Khi đó \(H=d\cap \left( P \right)\)
Ta có \(2+t+2+4t+15+25t-4=0\Leftrightarrow 30t=-15\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\)
\(H\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\). Do đó \(a+b=\frac{3}{2}\)
Cách 2: Khi đó \(M\left( x;y;z \right)\)cố định của \(\left( P \right)\) thỏa \(m\left( y+2z-1 \right)+x+z-2=0\quad \forall m\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 2z - 1 = 0\\ x + z - 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 - 2t\\ z = t \end{array} \right.\quad \left( \Delta \right) \end{array}\)
\(\left( P \right)\) luôn qua \(\left( \Delta \right)\) cố định
.PNG)
\(AH\le AK\)\( \Rightarrow d{{\left( A;\left( P \right) \right)}_{\max }}\)\( \Rightarrow H\equiv K\)
\(K\left( 2-t;1-2t;t \right)\) vì qua \(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\)\( \Rightarrow t=\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow K\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\)
Suy ra \(H\equiv K\) nên \(H\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-5}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+25}{-2}\) và điểm \(M\left( 2;3;-1 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) chứa đường thẳng \(\Delta \). Khi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, giá trị của \(b+c+d\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB=1\), cạnh bên \(SA=1\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\). Kí hiệu \(M\) là điểm di động trên đoạn \(CD\) và \(N\) là điểm di động trên đoạn \(CB\)sao cho \(\widehat{MAN}=45{}^\circ \). Thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.AMN\) là
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+d\) và \(g\left( x \right)=kx+d\) (với \(a,b,c,d,k\in \mathbb{R}\)). Đặt \(h\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y=h\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới và \(h\left( 2 \right)=-2\).
.PNG)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là
-
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x+2}-1}{{{x}^{2}}-4}\) là
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(\sqrt{2}\). Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{\circ }}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
-
Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{ax+32-a}{{{2}^{x}}},(a\in \mathbb{R})\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên đương \(a\) để \(m\ge 16?\)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 2;2;3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\), trong đó \({{z}_{2}}\) có phần ảo dương. Môđun của số phức \(u=2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)\) và \(C\left( 2;0;2 \right)\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(a\), \(A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;1 \right]\). Giá trị của \(a-2A\) bằng
.png)
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=\,f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình \(f(x)=\,1\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-2x \right)}\,dx=\frac{1}{3}.\) Tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\,dx\) bằng
-
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA=2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{4}}-{{u}_{1}}=6\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\,f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.\) Giá trị của \({{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}\) bằng
