Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB=1\) và \(AC=2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Ta có \(BC=\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\),
Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\) và \(SC\).
Ta có \(BC\bot AB,\,BC\bot SA\Rightarrow BC\bot AH\), khi đó \(AH\bot BC,\,AH\bot SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\) hay \(d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH\).
Ta có \(\sin {{60}^{0}}=\frac{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,SC \right)}=\frac{AH}{AK}=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}:\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}\)
Khi đó \(\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+4}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3\left( S{{A}^{2}}+1 \right)=S{{A}^{2}}+4\Rightarrow SA=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{12}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên