Phương trình $\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Diện tích của mặt cầu có bán kính bằng $5$ là

Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Giá trị cực đại của hàm số đã cho

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Giả sử $z,w$ là hai số phức thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=\frac{5}{2},\,\,\,\left| z-w \right|=4$. Trên mặt phẳng $Oxy$ gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z+w$ và $3z+w$. Diện tích tam giác $OMN$ bằng bao nhiêu.

Cho số phức $z=\,2-3i$. Điểm biểu diễn của số phức $\overline{z}$ là

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2$. Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho các số thực dương $a,\,\,b$ thỏa mãn ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.$ Giá trị của ${{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $\sqrt{2}$, cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Đặt $g\left( x \right)=f\left[ \frac{1}{2}{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}-f\left( x \right) \right]$. Phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh bằng $\sqrt{6}$. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $BD$ và $CC'$ bằng

Cho hàm số $y=\,f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho mặt cầu có bán kính bằng $3$. Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng

Gọi $\left( D \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=0,y=x$ và $y=\sqrt{x+2}$. Diện tích $S$ của $\left( D \right)$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Xét các số thực $a$ thay đổi thỏa mãn $\left| a \right|\le 2$ và ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-az+1=0$. Gọi $A\left( \frac{7}{2};2 \right)$ và $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $AMN$ bằng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\left( {{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{27}^{x+1}} \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( x+8 \right)-2 \right]\le 0$ là

Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{2}$. Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{\circ }}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,\,AB=1$ và $AC=2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Giả sử $a$, $b$ là các số thực dương tùy ý, ${{\log }_{4}}\left( {{a}^{6}}{{b}^{2}} \right)$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}-2x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}-1}{{{x}^{2}}-4}$ là