Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4{\log _8}x \ge 0\\ 2021 + {\log _8}x \ge 0\\ x > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1 \end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {2021 + {{\log }_8}x} - \sqrt {4{{\log }_8}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x - \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right) + \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x + \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \end{array}\)
Xét hàm số \(f(t)={{t}^{2}}+t\) với \(t\ge 0\).
Vì \(f'(t)=2t+1>0,\,\forall t\ge 0\) nên \(f(t)={{t}^{2}}+t\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty \right)\). Từ (2) ta có
\(f\left( \sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\)\( =f\left( \sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\).
Suy ra
\(\sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( =\sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( \Leftrightarrow 2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x\)\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\)\( \Leftrightarrow x={{2}^{2021}}\) (t/m)
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm nguyên.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là
-
Giả sử \(a,b\) là các số thực dương. Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y=a\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=1\) quanh trục \(Ox\); \({{V}_{2}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y=b{{x}^{2}},y=0,x=1\) quanh trục \(Ox\). Biết \({{V}_{2}}=10{{V}_{1}}\), giá trị \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=\,f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình \(f(x)=\,1\) là
-
Cho các số phức \(z=\,-1+2i,\,w=\,3-i\). Phần ảo của số phức \({{s}_{z}}=\,z.\overline{w}\) bằng
-
Cho số phức \(z=\,2-3i\). Điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(a\), \(A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;1 \right]\). Giá trị của \(a-2A\) bằng
.png)
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(\sqrt{6}\). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(BD\) và \(CC'\) bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{27}^{x+1}} \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( x+8 \right)-2 \right]\le 0\) là
-
Cho mặt cầu có bán kính bằng \(3\). Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng
-
Cho hàm số \(y=\,f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Gọi \(S\) là tập hợp gồm 18 điểm được đánh dấu trong bàn cờ ô ăn quan như nhìn bên. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm thuộc \(S\), xác suất để đường thẳng đi qua hai điểm được chọn không chức cạnh của bất kì hình vuông nào trong ô bàn cờ là
-
Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 2;2;3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}-2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\) và \(B\left( -1;3;3 \right)\). Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) có tọa độ là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-5}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+25}{-2}\) và điểm \(M\left( 2;3;-1 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) chứa đường thẳng \(\Delta \). Khi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, giá trị của \(b+c+d\) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{4}}-{{u}_{1}}=6\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA=2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 2\ ;\ 1\ ;\ 3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\), với \(m\) là tham số. Gọi \(H\left( a;b;c \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right)\). Khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất; tính \(a+b\).
