Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4{\log _8}x \ge 0\\ 2021 + {\log _8}x \ge 0\\ x > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1 \end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {2021 + {{\log }_8}x} - \sqrt {4{{\log }_8}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x - \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right) + \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x + \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \end{array}\)
Xét hàm số \(f(t)={{t}^{2}}+t\) với \(t\ge 0\).
Vì \(f'(t)=2t+1>0,\,\forall t\ge 0\) nên \(f(t)={{t}^{2}}+t\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty \right)\). Từ (2) ta có
\(f\left( \sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\)\( =f\left( \sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\).
Suy ra
\(\sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( =\sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( \Leftrightarrow 2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x\)\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\)\( \Leftrightarrow x={{2}^{2021}}\) (t/m)
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm nguyên.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB=1\) và \(AC=2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-2x \right)}\,dx=\frac{1}{3}.\) Tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\,dx\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\), trong đó \({{z}_{2}}\) có phần ảo dương. Môđun của số phức \(u=2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) bằng
-
Diện tích của mặt cầu có bán kính bằng \(5\) là
-
Cho mặt cầu có bán kính bằng \(3\). Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng
-
Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\) và chiều cao bằng \(3\). Thể tích khối trụ bằng
-
Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(\sqrt{2}\). Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{\circ }}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}-2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.PNG)
-
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2-x}}\)
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.\) Giá trị của \({{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}\) bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{27}^{x+1}} \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( x+8 \right)-2 \right]\le 0\) là
-
Giả sử \(a,b\) là các số thực dương. Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y=a\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=1\) quanh trục \(Ox\); \({{V}_{2}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y=b{{x}^{2}},y=0,x=1\) quanh trục \(Ox\). Biết \({{V}_{2}}=10{{V}_{1}}\), giá trị \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 2;2;3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{4}}-{{u}_{1}}=6\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)\) và \(C\left( 2;0;2 \right)\) có phương trình là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(\sqrt{6}\). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(BD\) và \(CC'\) bằng
