Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Điều kiện:
\(\left\{ \begin{align} & y-x>0 \\ & x\ge -\frac{1}{4} \\ & x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}>0 \\ \end{align} \right.\)
+ Ta có \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)\)\( ={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)\({{\log }_{4}}{{\left( \frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)\(y-x=\left( \frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow y={{\left( \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\).
+ Vì \(y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow \sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{2m+1}{2}\left( m\in \mathbb{N} \right)\)\( \Rightarrow x={{m}^{2}}+m\); khi đó \(y={{\left( m+1 \right)}^{2}}\).
+ Mà \(y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\)\( \Rightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le {{2021}^{3}}\)\( \Rightarrow 0\le m\le 2021\sqrt{2021}-1\approx 90854,1\).
Do đó có \(90855\) giá trị của \(m\), ứng với đó có \(90855\) cặp \(\left( x;\,y \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên