Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)\) và \(C\left( 2;0;2 \right)\) có phương trình là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Cho các số phức \(z=\,-1+2i,\,w=\,3-i\). Phần ảo của số phức \({{s}_{z}}=\,z.\overline{w}\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-5}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+25}{-2}\) và điểm \(M\left( 2;3;-1 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) chứa đường thẳng \(\Delta \). Khi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, giá trị của \(b+c+d\) bằng

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}-2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+d\) và \(g\left( x \right)=kx+d\) (với \(a,b,c,d,k\in \mathbb{R}\)). Đặt \(h\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y=h\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới và \(h\left( 2 \right)=-2\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB=1\) và \(AC=2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 2;2;3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB=1\), cạnh bên \(SA=1\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\). Kí hiệu \(M\) là điểm di động trên đoạn \(CD\) và \(N\) là điểm di động trên đoạn \(CB\)sao cho \(\widehat{MAN}=45{}^\circ \). Thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.AMN\) là

Giả sử \(z,w\) là hai số phức thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| w \right|=\frac{5}{2},\,\,\,\left| z-w \right|=4\). Trên mặt phẳng \(Oxy\) gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z+w\) và \(3z+w\). Diện tích tam giác \(OMN\) bằng bao nhiêu.

Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{ax+32-a}{{{2}^{x}}},(a\in \mathbb{R})\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên đương \(a\) để \(m\ge 16?\)

Cho hàm số bậc bốn \(y=\,f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình \(f(x)=\,1\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}\) và hai điểm \(A\left( 2;0;3 \right),B\left( 4;2;1 \right)\) Điểm \(M\) trên \(d\) sao cho độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) nhỏ nhất. Tọa độ của điểm \(M\) là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2\). Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên

Giá trị cực đại của hàm số đã cho

Diện tích của mặt cầu có bán kính bằng \(5\) là

Cho số phức \(z=\,2-3i\). Điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là

Mệnh đề nào sau đây đúng?