Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có mặt đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A}'BC \right)\)

Phương trình \({{\log }_{2}}(x-5)=5\) có nghiệm là

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M(3;-1;1)\) trên trục \(Oz\) có tọa độ là

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SC=a\sqrt{3}\). Gọi \(M,\,N,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SD,CD,\,BC\). Thể tích của khối chóp\(A.MNPQ\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy \(ABC\text{D}\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\text{D}\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{O}xyz\), cho các điểm \(A\left( 1;0;0 \right)\), \(B\left( 0;2;0 \right)\),\(C\left( 0;0;4 \right)\).Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trực tâm \(H\) của tam giác \(\Delta ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)?

Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(y=x-\ln x\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};e \right]\). Giá trị của \(M-m\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\). Tâm của mặt cầu \((S)\) có tọa độ là
 

Phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0;(a,b\in \mathbb{R})\)có nghiệm phức là \(3+4i\). Giá trị của \(a+b\)bằng:

Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bao nhiêu?
 

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?

Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)

Cho số phức \(z=-2+i\). Trong hình dưới, điểm biểu diễn số phức \(\overline{z}\) là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-(2m-3)x-m+2\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên.

Bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\)khi và chỉ khi

Môđun của số phức \(z=\left( -4+3i \right).i\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(d:\,\left\{ \begin{align}
  & x=-1+t \\ 
 & y=2-3t \\ 
 & z=t \\ 
\end{align} \right.\) và điểm \(A\left( 2;\,3;\,1 \right).\)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
 

Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh \(A,\,B,\,C,\,D\) và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là \(E,\,F\) (phần tô đậm của hình vẽ bên). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng \(AB\), đối xứng nhau qua trục \(CD\), hai parabol cắt elip tại các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q\). Biết \(AB=8\,m,\,CD=6\,m, \) \(MN=PQ=3\sqrt{3}\,m,\,EF=2\,m\). Chi phí để trồng hoa trên vườn là \(300.000\)đ/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?