Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh \(A,\,B,\,C,\,D\) và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là \(E,\,F\) (phần tô đậm của hình vẽ bên). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng \(AB\), đối xứng nhau qua trục \(CD\), hai parabol cắt elip tại các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q\). Biết \(AB=8\,m,\,CD=6\,m, \) \(MN=PQ=3\sqrt{3}\,m,\,EF=2\,m\). Chi phí để trồng hoa trên vườn là \(300.000\)đ/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn hệ trục tọa độ \(Oxy\), như hình vẽ.
Ta có: \(CD=2a=6\Rightarrow a=3;\,AB=2b=8\Rightarrow b=4\Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.\)
Giả sử phương trình parabol phía trên trục \(Ox\) là \(\left( P \right):y=\text{a}{{x}^{2}}+bx+c, \) do điểm \(F\left( 0;1 \right)\) là đỉnh của \(\left( P \right)\Rightarrow b=0;c=1\),\(\Rightarrow y=\text{a}{{x}^{2}}+1\).
Mà \(\left( P \right)\cap \left( E \right)=\left\{ M,N \right\},\,\,MN=3\sqrt{3}\Rightarrow N(\frac{3\sqrt{3}}{2};2).\)
\(N\in \left( P \right)\Rightarrow 2=a{{\left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow a=\frac{4}{27}\Rightarrow y=\frac{4}{27}{{x}^{2}}+1\).
Do có tính đối xứng của \(\left( E \right),\,\left( P \right)\), suy ra diện tích cần tìm là
\(S=4\left( \left| \int\limits_{0}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\left( \frac{4}{27}{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{\frac{3\sqrt{3}}{2}}^{3}{\left( 4\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{9}} \right)\text{d}x} \right| \right)\approx 16.03\,{{m}^{2}}\).
\(\Rightarrow \) Số tiền trồng hoa cho cả vườn hoa là: \(16.03\text{x}300.000=4.809.000\) đồng.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm