Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\).

Tập xác định của hàm số \(y={{({{x}^{3}}+27)}^{\frac{\pi }{2}}}\) là

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M(3;-1;1)\) trên trục \(Oz\) có tọa độ là

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy và
\(SA=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\), tính côsin góc \(\varphi \) giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\) có hai nghiệm phân biệt.

Cho hàm đa thức bậc ba \(y=f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ -2;2 \right]\) và có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\sqrt[3]{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}}\) là

Môđun của số phức \(z=\left( -4+3i \right).i\) bằng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có mặt đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A}'BC \right)\)

Cho hàm số đa thức bậc ba như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y=f\left( f\left( x \right)+m \right)\) có đúng \(6\) điểm cực trị?

Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(y=x-\ln x\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};e \right]\). Giá trị của \(M-m\) là

Phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0;(a,b\in \mathbb{R})\)có nghiệm phức là \(3+4i\). Giá trị của \(a+b\)bằng:

Cho \(\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}=9\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\) thì \(\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)

Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-4}{x-1}\).

Trong không gian cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=1\) và \(AD=2\). Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(AD\)và \(BC\). Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)?

Cho hình lăng trụ \({ABC.A'B'C'}\) có \(A{A}'=A{B}'=A{C}'\). Tam giác \({ABC}\) vuông cân tại \({A}\) có \({BC=2a}\). Khoảng cách từ \({A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{4}\,;\,\frac{3\pi }{4} \right)\)?

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(y={{e}^{x}}+2x\).