Cho hàm bậc ba \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Do \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)
\(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}-2 \right)=3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}-6a\left( x-{{x}_{1}} \right),\,\,\,\left( a>0 \right)\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C\).
Ta có: \(f\left( {{x}_{1}} \right)=C\),\(f\left( {{x}_{2}} \right)=-4a+C\) và \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2\)\(\Rightarrow C=2a+1\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a+1\).
Ta có: \({{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left| f\left( x \right)-1 \right|\text{d}x}=a\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2 \right]\text{d}x}=a\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\frac{5a}{4}\)
Do tính chất đối xứng qua điểm uốn của hàm bậc ba nên ta có được:
\(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\left( f\left( {{x}_{1}} \right)-1 \right)-{{S}_{2}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2a}{\frac{5a}{4}}-1=\frac{3}{5}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm