Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a.\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(4{a^3}\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) tới mặt bên của hình chóp.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều có \(O\) là tâm đáy nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), trong \(\Delta SOM\) kẻ \(OH \bot SM\) tại \(H.\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(OB = OC = OA = OD = \dfrac{{BD}}{2}.\) Suy ra \(OM \bot BC\) (vì \(\Delta OBC\) vuông cân có \(OM\) là trung tuyến cũng là đường cao)
Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC\), lại có \(OM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SOM} \right)\) suy ra \(BC \bot OH.\)
Từ đó vì \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)
Xét tam giác \(OBC\) vuông cân tại \(O\) có trung tuyến \(OM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.2a = a.\)
Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\). Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{a^3} = \dfrac{1}{3}SO.4{a^2} \Rightarrow SO = 3a.\)
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(M\) có \(OH\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow O{H^2} = \dfrac{{10}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) .
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Võ Chí Công
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\). Cạnh \(BC\) quay xung quanh \(d\) tạo thành một mặt xung quanh của hình trụ có thể tích là \({V_1}\). Tam giác \(ABC\) quay xung quanh trục \(d\) được khối tròn xoay có thể tích là \({V_2}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
-
Mỗi bạn An , Bình chọn ngẫu nhiên \(3\) chữ số trong tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\). Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An, Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Có bao nhiêu mặt trụ tròn xoay đi qua sáu đỉnh \(A,B,D,\,A'\,,B'\,,D'\,?\)
.JPG)
-
Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _4}{x^2} - {\log _2}3 = 1\) là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(\sqrt 3 .\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt tất cả các cạnh bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) biết \(\left( \alpha \right)\) tạo với mặt \(\left( {ABB'A'} \right)\) một góc \(60^\circ .\)
-
Tính theo \(a\) thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là \(a\), chiều cao bằng \(2a\).
-
Cho \(a,b\) là hai số thực dương tùy ý và \(b \ne 1\). Tìm kết luận đúng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.JPG)
-
Cho lăng trụ \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\) có diện tích mặt bên \(AB{B_1}{A_1}\) bằng \(4\), khoảng cách giữa cạnh \(C{C_1}\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\)
-
Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có dúng ba đường tiệm cận?
-
Anh Bình gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng VB với kì hạn cố định 12 tháng và hưởng mức lãi suất là \(0,65\% \)/tháng. Tuy nhiên, sau khi gửi được tròn 8 tháng anh Bình có việc phải dùng đến 200 triệu trên. Anh đến ngân hàng đình rút tiền thì được nhân viên ngân hàng tư vấn: “Nếu rút tiền trước hạn, toàn bộ số tiền anh gửi chỉ được hưởng mức lãi suất không kì hạn là \(0,02\% \)/tháng. Anh nên thế chấp sổ tiết kiệm đó tại ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất \(0,7\% \)/tháng. Khi sổ của anh đến hạn, anh có thể rút tiền để trả nợ ngân hàng”. Nếu làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng, anh Bình sẽ đỡ thiệt một số tiền gần nhất với con số nào dưới đây (biết rằng ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,SB,SC,SD\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) biết thể tích khối chóp \(S.MNPQ\) là \(1\).
-
Giả sử \(p,q\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right).\) Tìm giá trị của \(\frac{p}{q}\)
-
Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá \(30000\) đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm \(1000\) đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm \(20kg\). Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá \(2000\) đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x - 3} \right)^4}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\). Tìm khẳng định đúng:
-
Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của \(2592\) hoặc là ước của \(2916\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
.JPG)
-
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {x + 3} \right)^8} - {x^2}{\left( {2 - x} \right)^5}\) thành đa thức là:
