Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a.\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(4{a^3}\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) tới mặt bên của hình chóp.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều có \(O\) là tâm đáy nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), trong \(\Delta SOM\) kẻ \(OH \bot SM\) tại \(H.\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(OB = OC = OA = OD = \dfrac{{BD}}{2}.\) Suy ra \(OM \bot BC\) (vì \(\Delta OBC\) vuông cân có \(OM\) là trung tuyến cũng là đường cao)
Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC\), lại có \(OM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SOM} \right)\) suy ra \(BC \bot OH.\)
Từ đó vì \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)
Xét tam giác \(OBC\) vuông cân tại \(O\) có trung tuyến \(OM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.2a = a.\)
Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\). Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{a^3} = \dfrac{1}{3}SO.4{a^2} \Rightarrow SO = 3a.\)
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(M\) có \(OH\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow O{H^2} = \dfrac{{10}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) .
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Võ Chí Công
Câu hỏi liên quan
-
Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó.
.JPG)
-
Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là \(4\). Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,SB,SC,SD\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) biết thể tích khối chóp \(S.MNPQ\) là \(1\).
-
Mỗi bạn An , Bình chọn ngẫu nhiên \(3\) chữ số trong tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\). Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An, Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
-
Một khối nón có bán kính đáy bằng \(3\) và góc ở đỉnh bằng \(60^\circ \) thì có thể tích bằng bao nhiêu?
-
Xác suất sút bóng thành công tại chấm \(11\) mét của hai cầu thủ Quang Hải và Văn Đức lần lượt là \(0,8\) và \(0,7\). Biết mỗi cầu thủ sút một quả tại chấm \(11\) mét và hai người sút độc lập. Tính xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công.
-
Từ một nhóm có \(10\) học sinh nam và \(8\) học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra \(5\) học sinh trong đó có \(3\) học sinh nam và \(2\) học sinh nữ?
-
Gọi \(\left( {a;b} \right)\) là tập các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{e^{2x}} - 8{e^x} - m = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\ln 5} \right)\). Tổng \(a + b\) là
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _{0,25}}\left( {{x^2} - 3x} \right) = - 1\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.JPG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;2} \right]\) và có bảng biến thiên như sau. Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\). Tính \(M + m\).
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng
.JPG)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\). Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\)
-
Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của \(2592\) hoặc là ước của \(2916\)?
-
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3 - 2x}}{{x + 1}}\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
.JPG)
-
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\angle A = \angle B = {90^0},AB = BC = a,\,AD = 2a.\) Tính thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(CD\)
.JPG)
-
Với \(n\) là số nguyên dương, biểu thức \(T = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\) bằng
-
Cho \(a,b\) là hai số thực dương tùy ý và \(b \ne 1\). Tìm kết luận đúng.
