Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\); tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông với cạnh đáy \(AD,BC\); \(AD = 3BC = 3a,\,\,AB = a,SA = a\sqrt 3 \). Điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); \(M\) là trung điểm \(SD\), \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(SI\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB\), \(SC.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EFH\) và đỉnh thuộc mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow \widehat {SDA} = {30^0}\) \( \Rightarrow \widehat {MAI} = {30^0}\).
Lại có tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) có \(SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow \widehat {SIA} = {60^0}\) nên tam giác \(AHI\) có \(\widehat H = {90^0}\) hay \(AH \bot SI\)
Mà \(AH \bot IC\) do \(IC//BA \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(AH \bot \left( {SIC} \right)\) \( \Rightarrow AH \bot SC\).
Ngoài ra, \(AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\).
Mà \(AF \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) và \(AEFH\) là tứ giác có \(\widehat E = \widehat H = {90^0}\) nên nội tiếp đường tròn tâm \(K\) là trung điểm \(AF\) đường kính \(AF\).
Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\) thì \(OK//SC\), mà \(SC \bot \left( {AEFH} \right)\) nên \(OK \bot \left( {AEFH} \right)\) hay \(O\) chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính \(AF\).
Ta tính \(AF,OK\).
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) đường cao \(AF\) nên
\(AF = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\); \(OK = \dfrac{1}{2}CF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{C{A^2}}}{{CS}} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\).
Vậy thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}\).
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3a\) . Điểm \(H\) thuộc cạnh \(AC\) với \(HC = a.\) Dựng đoạn thẳng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \(SH = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
-
Cho phương trình \(m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\) \(\left( 1 \right)\). Tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) là khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Khi đó, \(a\) thuộc khoảng
-
Cho hàm số \(y = \frac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
-
Cho \(f\left( x \right) = {3^x}{.2^x}.\) Khi đó, đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số là
-
Cho hai số thực \(x,\,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10} = \sqrt {6 + 4x - {x^2}} \). Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - a} \right|\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;\,10} \right]\) của tham số \(a\) để \(M \ge 2m\)?
-
Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ....C_n^7} \right) = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}\). Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và có bảng biến thiên trên \({\rm{[}} - 5;7)\) như sau:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục \(Ox.\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là
-
Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,AB,BC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = a,SB = b,SC = c.\) Mặt cầu đi qua \(S,A,B,C\) có bán kính bằng
-
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
-
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
.JPG)
-
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) . Gọi \(M,{\rm N}\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) . Biết \(\left( {AM{\rm N}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) . Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Hình vẽ bên là đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right)\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2019} \right) + m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của \(S\) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} \right).\) Hàm số \(F\left( {{x^2} + x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Xác định số thực \(x\) để dãy số \(\log 2;\,\log 7;\,\log x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\) . Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)
-
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 4\sqrt {6 - x} \) trên \(\left[ { - 3;6} \right]\) . Tổng \(M + m\) có giá trị là
-
Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật \(AB = 1m,{\rm{AA}}' = 3m\) và \(BC = 2cm.\) Tính thể tích \(V\) của khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)?
