Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3a\) . Điểm \(H\) thuộc cạnh \(AC\) với \(HC = a.\) Dựng đoạn thẳng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \(SH = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi \(D\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow CD \bot AB\)
Kẻ \(HM//CD\,\,\left( {M \in AB} \right) \Rightarrow HM \bot AB\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot AB\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right)\).
Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {SHM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).
Ta có: \(CH \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \frac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{HA}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}HK\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(3a \Rightarrow CD = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{HM}}{{CD}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HM = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHM\) ta có : \(HK = \frac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \frac{{2a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\)
Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}.\frac{{2a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{3a\sqrt {21} }}{7}\).
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( { - 1;2;3} \right).\) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
-
Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình\(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} \le {m^2} - m + 1\) nghiệm đúng \(\forall \,x \in \left[ { - 3;6} \right]\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
.JPG)
Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và có bảng biến thiên trên \({\rm{[}} - 5;7)\) như sau:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2cm\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
.JPG)
-
Hình vẽ bên là đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right)\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2019} \right) + m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của \(S\) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 4}}{{x + 1}}\) (với m là tham số thực) có bảng biến thiên dưới đâyMệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = \frac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\); tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông với cạnh đáy \(AD,BC\); \(AD = 3BC = 3a,\,\,AB = a,SA = a\sqrt 3 \). Điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AI} \); \(M\) là trung điểm \(SD\), \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(SI\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB\), \(SC.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EFH\) và đỉnh thuộc mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\).
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây
.JPG)
-
Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 4\sqrt {6 - x} \) trên \(\left[ { - 3;6} \right]\) . Tổng \(M + m\) có giá trị là
-
Tập hợp tất cả các số thực \(x\) không thỏa mãn bất phương trình \({9^{{x^2} - 4}} + \left( {{x^2} - 4} \right){.2019^{x - 2}} \ge 1\) là khoảng \(\left( {a;b} \right)\) . Tính \(b - a\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 2\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 cực trị.
-
Cho hình chóp \(O.\,ABC\) có ba cạnh \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\). Góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {OM} \) bằng
-
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
-
Xác định số thực \(x\) để dãy số \(\log 2;\,\log 7;\,\log x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Một khối pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \(r,l\) thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}l\) và \(l = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là \(91c{m^2}.\) Tính diện tích của khối cầu \(\left( {{H_1}} \right).\)
.JPG)
