Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(B,\,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot mp\left( {ABC} \right),\,SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC,\) mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,{\rm N}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AM{\rm N}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Qua G, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại M và cắt SC tại N.
Gọi H là trung điểm của BC.
\( \Rightarrow \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}\) (tính chất đường trung tuyến).
Ta có: \(MN//BC \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}\) (định lý Ta-let)
Ta có : \(AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\;(\Delta ABC\) cân tại \(B)\)
Có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}A{B^2} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{a^2} = \frac{1}{6}{a^3}.\)
Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có: \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{4}{9}{V_{SABC}} = \frac{4}{9}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{2}{{27}}{a^3}.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây
.JPG)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) , \(\angle BSA = {60^0}\) . Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD?\)
-
Công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đường sinh \(l\) , bán kính đáy \(r\) là
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^x} + 2m + 1 = 0\) có nghiệm. Tập \(\mathbb{R}\backslash S\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
-
Với \(a,b,c\) là các số thực dương tùy ý khác 1 và \({\log _a}c = x,\,{\log _{b\,}}c = y.\) Khi đó giá trị của \({\log _c}\left( {ab} \right)\) là
-
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3a\) . Điểm \(H\) thuộc cạnh \(AC\) với \(HC = a.\) Dựng đoạn thẳng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \(SH = 2a.\) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
-
Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,AB,BC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = a,SB = b,SC = c.\) Mặt cầu đi qua \(S,A,B,C\) có bán kính bằng
-
Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
.JPG)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( { - 1;2;3} \right).\) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
-
Một khối pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \(r,l\) thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}l\) và \(l = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là \(91c{m^2}.\) Tính diện tích của khối cầu \(\left( {{H_1}} \right).\)
.JPG)
-
Cho hình chóp \(O.\,ABC\) có ba cạnh \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\). Góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {OM} \) bằng
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
.JPG)
-
Tập hợp tất cả các số thực \(x\) không thỏa mãn bất phương trình \({9^{{x^2} - 4}} + \left( {{x^2} - 4} \right){.2019^{x - 2}} \ge 1\) là khoảng \(\left( {a;b} \right)\) . Tính \(b - a\)
-
Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình\(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} \le {m^2} - m + 1\) nghiệm đúng \(\forall \,x \in \left[ { - 3;6} \right]\) là
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2cm\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục \(Ox.\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là
-
Cho \(f\left( x \right) = {3^x}{.2^x}.\) Khi đó, đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số là
-
Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) . Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) có \(SA = SB = 2a\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD\) . Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SD\) và mặt phẳng đáy \((ABCD)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
