Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1\) (với \(m\) là tham số). Gọi \(\left[ {a;b} \right]\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + 3b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right)\end{array}\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + mx} \right) - \left[ {\left( {3m + 2} \right)x + \left( {3{m^2} + 2m} \right)} \right] \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x + m} \right) - \left( {3m + 2} \right)\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {x - \left( {3m + 2} \right)} \right]\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Nếu \(3m + 2 = - m \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right)\) luôn đúng.
Nếu \(3m + 2 > - m \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3m + 2\\x \le - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3m + 2 \le 4 \Leftrightarrow m \le \dfrac{2}{3}\)
Nếu \(3m + 2 < - m \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3m + 2\\x \ge - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 4 \ge - m \Leftrightarrow m \ge - 4\)
Vậy \(m \in \left[ { - 4;\dfrac{2}{3}} \right]\) thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)
Do đó, \(T = a + 3b = - 4 + 3.\dfrac{2}{3} = - 2\)
Đáp án D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Lý Tự Trọng
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có cạnh ba cạnh \(AS,\,\,AB,\,\,AC\) đôi một vuông góc với nhau và \(AS = a,\,\,AB = 2a,\,\,AC = 3a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB\) và \(SC\) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AMN\)
.png)
-
Cho hai số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({\log _3}x + {\log _3}y = - 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\) là
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = - {x^3} + 2{x^2} + 7x\) là
-
Số nghiệm của phương trình \({2.4^{{x^2} + 2x}} + {3.2^{{x^2} + 2x}} - 5 = 0\) là
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx + m + 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm \(A,\,B\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 5 \). Tích các phần tử của \(S\) là
-
Một người gửi 500 triệu đồng vào một ngân hàng theo kì hạn 1 năm với lãi suất \(8,6\% /\)năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn ba lần số tiền ban đầu? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 3} \right]\) là
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = a\sqrt 2 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(SA = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)(tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
.png)
-
Cho \(a,\,\,m\) là 2 số thực thỏa mãn \(0 < a \ne 1\) và \({\log _a}2 = m\). Giá trị của biểu thức \({a^m} + {a^{ - m}}\) bằng
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 3\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) và \(AC' = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình bên).
.png)
-
Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 3\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (với \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
.png)
-
Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Một người dự định làm một cái thùng hình trụ bằng tôn có nắp đậy và có thể tích \(V\) cho trước. Hỏi người đó phải làm cái thùng có tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy bằng bao nhiêu để tốn ít tôn nhất ?
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{m^2}x - 4}}{{4x - 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
