Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\)
Suy ra \(A,\,\,G,\,\,M\) thẳng hàng và \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\). Suy ra \(I\) nằm trên \(SG\)
Ta có:
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(2a\) nên \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 3 a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
\(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)
Do đó, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa \(SM\) và \(AM\) hay \(\widehat {SMA} = 45^\circ \). Suy ra,
\(SG = GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)
\(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) nên \(R = IS = IA = IB = IC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}SI = R \Rightarrow IG = SG - SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R\\A{G^2} + I{G^2} = A{I^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R} \right)^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}a\end{array}\)
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{125\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)
Đáp án D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Lý Tự Trọng
Câu hỏi liên quan
-
Một người dự định làm một cái thùng hình trụ bằng tôn có nắp đậy và có thể tích \(V\) cho trước. Hỏi người đó phải làm cái thùng có tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy bằng bao nhiêu để tốn ít tôn nhất ?
-
Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của một hình nón có bán kính đáy \(R\) và độ dài đường sinh \(l\) được xác định bởi công thức nào dưới đây?
-
Một người gửi 500 triệu đồng vào một ngân hàng theo kì hạn 1 năm với lãi suất \(8,6\% /\)năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn ba lần số tiền ban đầu? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 3} \right]\) là
-
Nghiệm của phương trình \({2^x} = 3\) là
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) và \(AC' = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình bên).
.png)
-
Giá trị của \({3^{\dfrac{1}{2}}}.\sqrt 3 \) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{m^2}x - 4}}{{4x - 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (với \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
.png)
-
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(DC,\,\,DA,\,\,DB\) (tham khảo hình bên). Mặt phẳng nào dưới đây là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đã cho?
.png)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 3\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Chiều cao \(h\) của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và thể tích \(V\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ có chiều cao \(h = 3\,\,cm\) và diện tích đáy \(B = 10\,\,c{m^2}\)
-
Số nghiệm của phương trình \({2.4^{{x^2} + 2x}} + {3.2^{{x^2} + 2x}} - 5 = 0\) là
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) (với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của đồ thị hàm số là:
.png)
-
Trong không gian, cho hình chữ nhật \(ABCD\). Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh \(AB\) thì đường gấp khúc \(ADCB\) tạo thành một hình nào dưới đây?
-
Cho hình trụ có chiều cao \(h = a\) và bán kính đáy \(r = 2a\). Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
-
Trong không gian, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( S \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 4a,\) khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( \alpha \right)\) bằng \(2a\). Tính bán kính \(r\) của \(\left( C \right)\).
