Trong tất cả các cặp số thực (x;y ) thỏa mãn \(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1,\) có bao nhiêu giá trị thực của m để tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 – m = 0\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\;\left( {2x + 2y\; + 5{\rm{ }}} \right)\; \ge \;1\;⇔2x + 2y + 5{\rm{ }} \ge {x^2} + y{\;^2} + \;3\;⇔{x^2} + {y^2}\; – 2x – 2y\; – 2 \le \;0\left( 1 \right)\;\)
⇒ Tập hợp các cặp số thực \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(lo{g_{{x^2} + {y^2} + 3}}\;\left( {2x + 2y\; + 5{\rm{ }}} \right)\; \ge \;1\;\) là hình tròn
\(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2}\; – 2x – 2y – 2 = 0\) (tính cả biên).
Xét \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 – m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m.\;\)
TH1:\(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y\; = – 3\;\end{array} \right.\), không thỏa mãn (1).
TH2: m > 0 khi đó tập hợp các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 – m = 0\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2}\; + 4x + 6y + 13 – m = 0.\;\)
Để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau hoặc hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc trong và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính lớn hơn đường tròn \(\left( {{C_1}} \right).\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;1} \right)\), bán kính \({R_1} = 2.\;\)
( C2) có tâm \({I_2}\left( { – 2; – 3} \right),\) bán kính \({R_2} = \sqrt m \left( {m > 0} \right).\;\)
Để \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài thì \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\;\)
⇔\(\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + \left( { – 4} \right){\;^2}} = 2\; + \sqrt m \;\; \Leftrightarrow 5 = 2 + \sqrt m \Leftrightarrow m = \;9\;\left( {tm\;} \right)\;\)
Để đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc trong và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính lớn hơn đường tròn \(\left( {{C_1}} \right). ⇒{R_2} – {R_1} = \;{I_1}{I_2}⇔\sqrt m – 2 = \sqrt {\left( { – 3} \right){\;^2} + \;{4^2}} \Leftrightarrow m = \;49\;\) (tm )
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
