Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là \(\left( { – \infty ;0} \right]\) \(m{2^{x + 1}} + \left( {2m + 1} \right){\left( {1 – \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} < 0\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương
\(2m + \left( {2m + 1} \right)\left( {\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} < 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\). Đặt \(t = {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} > 0\), ta được:
\(2m + \left( {2m + 1} \right)\frac{1}{t} + t < 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( t \right) = {t^2} + 2mt + 2m + 1 < 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
BPT (1) nghiệm đúng \(\forall x \le 0\) nên BPT (2) nghiệm đúng với mọi \(0 < t \le 1\), suy ra Phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có 2 nghiệm \({t_1}, {t_2}\) thỏa \({t_1} \le 0 < 1 < {t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) \le 0\\f\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le 0\\4m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le – 0,5\\m < – 0,5\end{array} \right.\) .
Vậy \(m < \frac{{ – 1}}{2}\) thỏa Ycbt.