Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: \(9^{x}+(m-1) \cdot 3^{x}+m>0\) nghiệm đúng \(\forall x>1 \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt } \log _{x} 3-\log _{\frac{x}{3}} 3<0 \Leftrightarrow \frac{-1}{\log _{3} x \cdot\left(\log _{3} x-1\right)}<0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \operatorname { l o g } _ { 3 } x < 0 } \\ { \operatorname { l o g } _ { 3 } x > 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 0<x<1 \\ x>3 \end{array}\right.\right.\)
bất phương trình đã cho thành
\(t^{2}+(m-1) . t+m>0 \text { nghiệm đúng } \forall t \geq 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{t^{2}-t}{t+1}>-m \text { nghiệm đúng } \forall t>3\)
\(\text { Xét hàm số } g(t)=t-2+\frac{2}{t+1}, \forall t>3, g^{\prime}(t)=1-\frac{2}{(t+1)^{2}}>0, \forall t>3 \text { . }\)
\(\text { Hàm số đồng biến trên }[3 ;+\infty) \text { và } g(3)=\frac{3}{2} \text { . Yêu cầu bài toán tương đương }-m \leq \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geq-\frac{3}{2} \text { . }\)