Tập các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({\log _x}\left( {y + x + {x^2} – 5} \right) \le 2\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó \({\log _x}\left( {y + x + {x^2} – 5} \right) \le 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y + x + {x^2} – 5 > 0\\y + x + {x^2} – 5 \le {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y + x + {x^2} – 5 > 0\\y + x \le 5\end{array} \right.\). (1)
Vì \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương nên \(x \in \left\{ {2;\,3;\,4} \right\}\)
Với x = 2 có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y + 6 – 5 > 0\\y + 2 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) có 3 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Với x = 3 có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y + 12 – 5 > 0\\y + 3 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\) có 2 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Với x = 4 có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0,x \ne 1\\y + 20 – 5 > 0\\y + 4 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y \in \left\{ 1 \right\}\) có 1 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Vậy có tất cả 6 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.