Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\) và \(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0\). Đặt \(z = {z_1} + {z_2} + {z_3}\) giá trị của \({\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({z_1} = {z_2} = 1\)
\(z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0 \Leftrightarrow 1 + 1 + z_3^3 + {z_3} = 0 \Leftrightarrow z_3^3 + {z_3} + 2 = 0 \Leftrightarrow {z_3} = – 1\), thỏa mãn \(\left| {{z_3}} \right| = 1\)
Khi đó ta có 1 cặp \(({z_1},{z_2},{z_2}) = (1;1; – 1)\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Khi đó \(z = {z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 + 1 – 1 = 1\).
\( \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = 1 – 3.1 = – 2\)