Xét khối tứ diện ABCD có cạnh \(AB = 2\sqrt 3 \) và các cạnh còn lại đều bằng x. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(2\sqrt 2 \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của CD và H là hình chiếu của A trên BM.
\(CD \bot AM;CD \bot BM \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)
Đặt \(\widehat {AMB} = \alpha \) suy ra \(\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow AH = \sin \alpha .\frac{{x\sqrt 3 }}{2}\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}\sin \alpha \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 2 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{{512}}{{{x^6}}}\)
Xét tam giác AMB ta có: \(\cos \alpha = \frac{{A{M^2} + B{M^2} – A{B^2}}}{{2AM.BM}} = 1 – \frac{8}{{{x^2}}}\)
Ta được phương trình: \(\frac{{512}}{{{x^6}}} + {\left( {1 – \frac{8}{{{x^2}}}} \right)^2} = 1\). Giả PT ta được \(x = 2\sqrt 2 \).
Câu hỏi liên quan
-
Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích của (H).
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt ABCD, BCC'B', CDD'C' lần lượt là 2a2, 3a2, 6a2. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \(45{}^\circ \) ( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
-
Độ dài đường chéo của một hình lập phương bằng 3a. Tính thể tích V của khối lập phương.
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh 2a và A’B = 3a. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ theo a.
-
Thể tích khối chóp có diện tích đáy \({a^2}\sqrt 2 \) và chiều cao 3a là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
-
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA=4, AB=6, BC=10 và CA=8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Cho khối chóp S ABCD . có đáy là hình chữ nhật, \(A B=a, \quad A D=a \sqrt{3}\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 2 a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho khối hộp chữ nhật \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \text { có } A A^{\prime}=a \sqrt{3}\) Biết rằng mặt phẳng (A'BC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 600 đường thẳng A'C hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 300 .Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB=a\), \(AC=2a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(M\) của \(AC\). Góc giữa \(SB\) và đáy bằng \(60{}^\circ \). Thể tích \(S.ABC\) là bao nhiêu?
-
Tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 54.Thể tích của khối lập phương là:
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh 2a, SC = 3a, SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
-
Tính thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết \(BD’ = \sqrt 3 a.\)
-
Cho hình hộp chữ nhật \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) có \(A B=A A^{\prime}=a\), đường chéo A'C tạo với mặt đáy (ABCD) một góc \(\alpha\) thỏa \(\cot \alpha=\sqrt{5}\) Thể tích khối hộp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AD = 2a, AB = BC = a,SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30o. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SBCD}}}}?\)
-
Gọi \(l, h, R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
Thể tích của khối có 5 mặt hình chữ nhật, 4 mặt tam giác với kích thước được cho như hình vẽ là
.png)
-
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
