Xét khối tứ diện ABCD có cạnh \(AB = 2\sqrt 3 \) và các cạnh còn lại đều bằng x. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(2\sqrt 2 \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của CD và H là hình chiếu của A trên BM.
\(CD \bot AM;CD \bot BM \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)
Đặt \(\widehat {AMB} = \alpha \) suy ra \(\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow AH = \sin \alpha .\frac{{x\sqrt 3 }}{2}\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}\sin \alpha \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 2 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{{512}}{{{x^6}}}\)
Xét tam giác AMB ta có: \(\cos \alpha = \frac{{A{M^2} + B{M^2} – A{B^2}}}{{2AM.BM}} = 1 – \frac{8}{{{x^2}}}\)
Ta được phương trình: \(\frac{{512}}{{{x^6}}} + {\left( {1 – \frac{8}{{{x^2}}}} \right)^2} = 1\). Giả PT ta được \(x = 2\sqrt 2 \).
