Xét các số phức \(z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(|z-4-3 i|=\sqrt{5}\). Tính \(P=a+b \text { khi }|z+1-3 i|+|z-1+i|\) đạt giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: }|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^{2}+(b-3)^{2}=5 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=8 a+6 b-20\\ &\text { Đặt } A=|z+1-3 i|+|z-1+i| \text { ta có: }\\ &A=\sqrt{(a+1)^{2}+(b-3)^{2}}+\sqrt{(a-1)^{2}+(b+1)^{2}}\\ &A^{2} \leq\left(1^{2}+1^{2}\right)\left((a+1)^{2}+(b-3)^{2}+(a-1)^{2}+(b+1)^{2}\right)=2\left(2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4 b+12\right)\\ &=2(16 a+8 b-28)=8(4 a+2 b-7)(1) \end{aligned}\)
Mặt khác ta có
\(\begin{aligned} &4 a+2 b-7=4(a-4)+2(b-3)+15 \leq \sqrt{\left(4^{2}+2^{2}\right)\left((a-4)^{2}+(b-3)^{2}\right)}+15=25(2)\\ &\text { Từ (1) và (2) ta được: } A^{2} \leq 200\\ &\text { Đề } A_{\max }=10 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 4 a+2 b-7=25 \\ \frac{a-4}{4}=\frac{b-3}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=6 \\ b=4 \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Vậy \(P=a+b=10\)
