Từ phương trình \(1+\sin ^{3} x+\cos ^{3} x=\frac{3}{2} \sin 2 x\), ta tìm được \(\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) có giá trị bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(1+\sin ^{3} x+\cos ^{3} x=\frac{3}{2} \sin 2 x\)
\(\Leftrightarrow 1+(\sin x+\cos x)(1-\sin x \cos x)=\frac{3}{2} \sin 2 x\)
Đặt \(t=\sin x+\cos x(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x=\frac{t^{2}-1}{2}\)
Phương trình trở thành
\(2+t\left(2-t^{2}+1\right)=3\left(t^{2}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^{3}+3 t^{2}-3 t-5=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=-1 \\ t=-1 \pm \sqrt{6}(\text { loại }) \end{array}\right.\)
Với \(t=-1\Rightarrow \sin x+\cos x=-1 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mà \(\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \Rightarrow \cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
