\(\text { Giải phương trình: } 4 \sin x+2 \cos x=2+3 \tan x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { ĐKXĐ: } x \neq \frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} .\)
Khi đó
\(\begin{aligned} \operatorname{Pt} & \Leftrightarrow 4 \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x=2 \cos x+3 \sin x \\ & \Leftrightarrow 4 \sin x \cos x-2 \cos x+2-3 \sin x-2 \sin ^{2} x=0 \\ & \Leftrightarrow 2 \cos x(2 \sin x-1)-(2 \sin x-1)(\sin x+2)=0 \\ & \Leftrightarrow(2 \sin x-1)(2 \cos x-\sin x-2)=0 \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin x=\frac{1}{2}&(1) \\ 2 \cos x-\sin x=2&(2) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Giải }(1): \sin x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\)
\(\text { Giải }(2): 2 \cos x-\sin x=2 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}} \cos x-\frac{1}{\sqrt{5}} \sin x=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Gọi \(\alpha\) là góc thỏa mãn \(\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}\) . Phương trình (2) trở thành
\(\cos (x+\alpha)=\cos \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=k 2 \pi \\ x=-2 \alpha+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\)
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm
