Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > b > 0 (Hình 2)
.png)
(E) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2 và cắt trục Oy tại các điểm B1, B2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA2 và OB2.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ của A2 có dạng \(\left( {{x_{{A_2}}};0} \right).\)
Mà A2 thuộc (E) nên \(\frac{{x_{_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow x_{_{{A_2}}}^2 = {a^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{{A_2}}} = a}\\ {{x_{{A_2}}} = - a} \end{array}} \right.\)
Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên \({x_{{A_2}}} > 0 \Rightarrow {x_{{A_2}}} = a \Rightarrow {A_2}\left( {a;{\rm{ }}0} \right).\;\)
Khi đó \(O{A_2}\; = \sqrt {{{\left( {a - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\)
Vậy OA2 = a
+) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ của B2 có dạng \(\left( {0;{y_{{B_2}}}} \right).\)
Mà B2 thuộc (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{y_{_{{B_2}}}^2}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow y_{_{{B_2}}}^2 = {b^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y_{{B_2}}} = b}\\ {{y_{{B_2}}} = - b} \end{array}} \right.\)
Ta thấy B2 nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên \({y_{{B_2}}} > 0 \Rightarrow {y_{{B_2}}} = b \Rightarrow {B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right).\)
Khi đó \(O{B_2}\; = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {b - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2}} = b\) (vì b > 0).
Vậy OB2 = b
